عن حل الفصل الثاني الاحصاء والتمثيلات البيانية
الفصل ۲: الإحصاء والتمثيلات البيانية
حل مادة الرياضيات للصف السادس الابتدائي
الحل من إعداد موقع كتبي المدرسية | جميع الحقوق محفوظة
التهيئة
أجب عن الاختبار الآتي:
أوجد ناتج الجمع: (مهارة سابقة)
١) ٦٣ + ٣٧ = ١٠٠
٢) ٢٩ + ٢٥ + ١١ = ٦٥
٣) ٦٣ + ٩ + ٣٣ = ١٠٥
٤) ٥٦ + ١٠ + ٧ + ٨ = ٨١
٥) ٤٤ + ١٨ + ٥ = ٦٧
٦) ٤٨ + ٥٧ + ٤٨ = ١٥٣
٧) نقود: اشترى سعيد ساعة بـ ١٥٣ ريالا، وحذاء بـ ٨٥ ريالا، وغترة بـ ٤٨ ريالا. فما ثمن مشترياته؟
ثمن مشترياته = ١٥٣ + ٨٥ + ٤٨ = ٢٨٦ ريالاً
أوجد ناتج القسمة: (مهارة سابقة)
٨) ٨٤ ÷ ٢ = ٤٢
٩) ٩٦ ÷ ٨ = ١٢
١٠) ١٣٢ ÷ ١١ = ١٢
١١) ١١٥ ÷ ٥ = ٢٣
١٢) حجاج: وصلت طائرة إلى مطار الملك عبد العزيز بجدة تحمل ٢١٦ حاجا، وأراد مكتب الاستقبال توزيعهم على ٩ حافلات بالتساوي. فكم حاجا يركب في الحافلة الواحدة؟
يركب في الحافلة الواحدة = ٢١٦ ÷ ٩ = ٢٤ حاجاً
أوجد قيمة كل عبارة مما يأتي: (الدرس ١-٦)
١٣) ١٥ - ٤ + ٢
نطرح ٤ من ١٥ = ١١
نجمع ١١ مع ٢ = ١٣
١٤) ٣ + ٣٥ ÷ ٧
نقسم ٣٥ على ٧ = ٥
نجمع ٣ مع ٥ = ٨
١٥) (٣٢ ÷ ٤) - ٥
نقسم ٣٢ على ٤ = ٨
نطرح ٥ من ٨ = ٣
١٦) ٣٠ ÷ (٨ - ٣)
نطرح ٣ من ٨ = ٥
نقسم ٣٠ على ٥ = ٦
١٧) ٥² × ٤ - (٤ × ٥)
نوجد قيمة ٥² = ٢٥
نضرب ٥ في ٤ = ٢٠
نضرب ٢٥ في ٢ = ٥٠
نطرح ٢٠ من ٥٠ = ٣٠
١٨) ٧ × (٤ ÷ ٢) + ٣³
نقسم ٤ على ٢ = ٢
نوجد قيمة ٣³ = ٢٧
نضرب ٧ في ٢ = ١٤
نجمع ١٤ مع ٢٧ = ٤١
الدرس ٢-١: خطة حل المسألة (إنشاء جدول)
فكرة الدرس: أحل المسائل باستعمال خطة "إنشاء جدول"
حلل الخطة
١) اشرح متى تستعمل خطة «إنشاء جدول» لحل المسألة.
الإجابة: عند وجود عدد كبير ومتكرر من البيانات.
٢) اذكر مزايا تنظيم المعلومات في جدول.
الإجابة: ليسهل الوصول إلى المعلومات وتفسيرها والإستفادة منها.
٣) اكتب مسألة من واقع الحياة يمكن حلها باستعمال خطة «إنشاء جدول»، ثم وضح طريقة حل المسألة.
المسألة: تبين القائمة الآتية تفضيل بعض طلاب الصف السادس لنكهات العصائر المقدمة في مقصف المدرسة: (ب، م، م، ل، ل، ل، ب، ب، م، ل، م، ب، ل، ل، م، م، ل). مثل هذه البيانات بجدول تكراري، ثم حدد أي نكهات العصائر كانت هي الأكثر تفضيلاً. (ب: برتقال، م: مانجو، ل: ليمون).
افهم: المعطيات: قائمة بتفضيل بعض طلاب الصف السادس لنكهات العصائر. المطلوب: تمثيل البيانات بجدول تكراري، وتحديد النكهة الأكثر تفضيلاً.
خطط: نكون جدولاً تكراريًا للبيانات.
حل:
| النكهة | الإشارات | التكرار |
|---|---|---|
| البرتقال | |||| | ٤ |
| المانجو | |||| | | ٦ |
| الليمون | |||| || | ٧ |
إذاً أكثر نكهات العصائر تفضيلاً هي: الليمون.
تحقق: بمراجعة الحل نجد أن الإجابة صحيحة.
مسائل متنوعة (استعمل خطة "إنشاء جدول" لحل المسألتين ٤، ٥)
٤) ألوان: الجدول الآتي يبين الألوان المفضلة لطلاب أحد فصول الصف السادس. كون جدولاً تكرارياً للبيانات، واذكر كم يزيد عدد الطلاب الذين يفضلون اللون البني على الذين يفضلون الأخضر؟ (ز = أزرق، ص = أصفر، ب = بني، خ = أخضر).
افهم: المعطيات: جدول الألوان المفضلة. المطلوب: معرفة كم يزيد عدد الطلاب الذين يفضلون اللون البني على الأخضر.
خطط: نكون جدولاً تكرارياً للبيانات.
حل:
| اللون | الإشارات | التكرار |
|---|---|---|
| أزرق | |||| | | ٦ |
| أصفر | |||| | ٤ |
| بني | |||| | | ٦ |
| أخضر | |||| | ٤ |
يزيد عدد الطلاب الذين يفضلون اللون البني على الذين يفضلون الأخضر بـ طالبين (لأن ٦ - ٤ = ٢).
تحقق: بمراجعة جدول الإشارات والتكرار نجد أن الفرق طالبان، حيث ٤ + ٢ = ٦.
٥) اختبار: الجدول الآتي يوضح درجات عدد من طلاب الصف السادس في اختبار مادة الرياضيات. فكم طالباً كانت درجته ٧ على الأقل؟
افهم: المعطيات: درجات عدد من الطلاب. المطلوب: كم طالباً كانت درجته ٧ على الأقل؟
خطط: نكون جدولاً تكرارياً للبيانات.
حل:
| الدرجة | الإشارات | التكرار |
|---|---|---|
| ٥ | ||| | ٣ |
| ٦ | || | ٢ |
| ٧ | ||| | ٣ |
| ٨ | |||| | ٤ |
| ٩ | |||| | ٤ |
| ١٠ | |||| | | ٥ |
عدد الطلاب الذين كانت درجتهم ٧ على الأقل = ٣ + ٤ + ٤ + ٥ = ١٦ طالباً.
تحقق: بمراجعة الحل نجد أن الإجابة صحيحة.
استعمل الخطة المناسبة مما يأتي لحل المسائل من ٦-١٤:
٦) أعداد: تفكر سارة في ثلاثة أعداد مختلفة من ١ إلى ٩ مجموعها ٢٠، أوجد جميع الأعداد الممكنة.
افهم: المعطيات: ثلاثة أعداد مختلفة من ١ إلى ٩ مجموعها ٢٠. المطلوب: جميع الأعداد الممكنة.
خطط: لحل المسألة نخمن ونتحقق.
حل: الأعداد الممكنة هي:
- ٣ ، ٨ ، ٩
- ٤ ، ٧ ، ٩
- ٥ ، ٧ ، ٨
- ٥ ، ٦ ، ٩
تحقق: كل ثلاثة أعداد من هذه الأعداد الممكنة إذا جمعناها نجد أن مجموعها ٢٠ (مثال: ٣ + ٨ + ٩ = ٢٠)، إذاً الإجابة صحيحة.
٧) مدرسة: تضم مدرسة ١٥٠ طالبًا. هواية ٥٥ طالبًا منهم القراءة، و ٧٥ الرياضة، ويشترك ٢٥ من الفئتين في الهوايتين معا. فما عدد الطلاب الذين لا يمارسون أيًا من هاتين الهوايتين؟
افهم: إجمالي الطلاب = ١٥٠. القراءة = ٥٥، الرياضة = ٧٥، الهوايتان معا = ٢٥. المطلوب: عدد الطلاب الذين لا يمارسون أيًا منهما.
خطط: استخدام رسم شجري أو التخمين والتحقق.
حل:
عدد الذين يفضلون القراءة فقط = ٥٥ - ٢٥ = ٣٠ طالباً.
عدد الذين يفضلون الرياضة فقط = ٧٥ - ٢٥ = ٥٠ طالباً.
مجموع المشاركين في الهوايتين = ٣٠ + ٥٠ + ٢٥ = ١٠٥ طلاب.
عدد الذين لا يمارسون أياً من الهوايتين = ١٥٠ - ١٠٥ = ٤٥ طالباً.
تحقق: ١٠٥ + ٤٥ = ١٥٠، إذاً الإجابة صحيحة.
٨) سيارات: الجدول الآتي يوضح ألوان السيارات في أحد المواقف. فبكم تزيد السيارات الفضية على السيارات الحمراء؟ (ف = فضي، ح = أحمر، س = أسود، ض = أخضر، ب = أبيض).
افهم: المعطيات: جدول ألوان السيارات. المطلوب: كم تزيد الفضية على الحمراء؟
خطط: إنشاء جدول تكراري.
حل:
| اللون | الإشارات | التكرار |
|---|---|---|
| فضي | |||| |||| | ١٠ |
| أحمر | |||| | ٤ |
| أسود | |||| || | ٧ |
| أخضر | || | ٢ |
| أبيض | |||| | ٥ |
تزيد السيارات الفضية على الحمراء بـ ٦ سيارات (لأن ١٠ - ٤ = ٦).
تحقق: ٤ + ٦ = ١٠، إذاً الإجابة صحيحة.
٩) ألعاب رياضية: الجدول الآتي يوضح عدد الساعات التي قضاها بعض الطلاب في ممارسة الرياضة خلال العطلة الأسبوعية. كم طالبًا قَضَى أقل من ٣ ساعات؟
افهم: المطلوب معرفة كم طالباً قضى أقل من ٣ ساعات.
خطط: إنشاء جدول تكراري.
حل:
| عدد الساعات | الإشارات | التكرار |
|---|---|---|
| ٠ | || | ٢ |
| ١ | |||| || | ٧ |
| ٢ | |||| || | ٧ |
| ٣ | |||| | ٥ |
| ٤ | |||| | ٤ |
| ٦ | || | ٢ |
| ٧ | | | ١ |
| ٨ | | | ١ |
عدد الطلاب الذين قضوا أقل من ٣ ساعات (أي ٠ أو ١ أو ٢ ساعة) = ٢ + ٧ + ٧ = ١٦ طالباً.
تحقق: ٢ + ٧ + ٧ = ١٦، بمراجعة الحل نجد أن الإجابة صحيحة.
١٠) بريد: ينقل ساعي البريد في إحدى المدن ٢٠٠٠ رسالة بريدية يوميا تقريبا ولمدة ستة أيام في الأسبوع. فما عدد الرسائل البريدية التي ينقلها في خمس سنوات تقريبا، علما بأن عدد أسابيع السنة القمرية يساوي ٥٠ أسبوعًا تقريبا؟
افهم: المعطيات: ٢٠٠٠ رسالة/يوم، ٦ أيام/أسبوع، ٥٠ أسبوعاً/سنة. المطلوب: عدد الرسائل في ٥ سنوات.
خطط: إنشاء جدول حسابي.
حل:
| المدة | المدة × عدد الرسائل | الناتج |
|---|---|---|
| ٦ أيام في الأسبوع | ٦ × ٢٠٠٠ | ١٢٠٠٠ رسالة/أسبوع |
| سنة (٥٠ أسبوعًا) | ١٢٠٠٠ × ٥٠ | ٦٠٠٠٠٠ رسالة/سنة |
| ٥ سنوات | ٦٠٠٠٠٠ × ٥ | ٣٠٠٠٠٠٠ رسالة |
إذاً عدد الرسائل البريدية في خمس سنوات = ٣٠٠٠٠٠٠ رسالة بريدية.
تحقق: بمراجعة الجدول نجد أن الإجابة صحيحة.
١١) قرطاسية: اشترَتْ ريم عددًا من الأقلام والدفاتر، بسعر ٤ ريالات للقلم الواحد و٥ ريالات للدفتر الواحد. إذا كان عدد ما اشترته من الأقلام والدفاتر ١٧ قطعة بمبلغ ٧٨ ريالا، فما عدد كل من الأقلام والدفاتر التي اشترتها؟
افهم: سعر القلم = ٤ ريالات، سعر الدفتر = ٥ ريالات. الإجمالي = ١٧ قطعة بمبلغ ٧٨ ريالاً. المطلوب: عدد الأقلام وعدد الدفاتر.
خطط: التخمين والتحقق.
حل:
- التخمين الأول: ٥ أقلام + ١٢ دفتر = ١٧ قطعة. الثمن = (٥ × ٤) + (١٢ × ٥) = ٢٠ + ٦٠ = ٨٠ ريالاً. (تخمين خاطئ)
- التخمين الثاني: ٦ أقلام + ١١ دفتر = ١٧ قطعة. الثمن = (٦ × ٤) + (١١ × ٥) = ٢٤ + ٥٥ = ٧٩ ريالاً. (تخمين خاطئ)
- التخمين الثالث: ٧ أقلام + ١٠ دفاتر = ١٧ قطعة. الثمن = (٧ × ٤) + (١٠ × ٥) = ٢٨ + ٥٠ = ٧٨ ريالاً. (تخمين صائب)
إذاً عدد الأقلام = ٧ أقلام، وعدد الدفاتر = ١٠ دفاتر.
تحقق: (٧ × ٤) + (١٠ × ٥) = ٢٨ + ٥٠ = ٧٨ ريالاً، و٧ + ١٠ = ١٧ قطعة. الإجابة صحيحة.
١٢) أنماط: أوجد الشكل التالي في النمط أدناه (أشكال هندسية تحوي مثلثاً يتنقل في الأرباع):
افهم: تتبع حركة المثلث في الأشكال.
خطط: الملاحظة والتخمين.
حل: بالنظر إلى الشكل نجد أن المثلث في الشكل (١) في الربع الأول، ثم الانتقال للربع الثاني في (٢)، ثم الربع الثالث في (٣)، ثم الربع الرابع في (٤)، ثم عاد في (٥) للربع الأول. إذاً سيكون المثلث في الشكل (٦) موجودًا في الربع الثاني.
تحقق: تتبع النمط يثبت صحة الإجابة.
١٣) نقود: إذا وفّر أحد العمال ٢٠ ريالا يوميا مدة ٢٥ أسبوعًا، فما مجموع ما يوفره؟
افهم: التوفير = ٢٠ ريال/يوم. المدة = ٢٥ أسبوعاً (الأسبوع = ٧ أيام).
خطط: إنشاء جدول حسابي.
حل:
| المدة | المدة × عدد الريالات | مقدار التوفير |
|---|---|---|
| يوم | ١ × ٢٠ | ٢٠ ريالاً |
| أسبوع (٧ أيام) | ٧ × ٢٠ | ١٤٠ ريالاً |
| ٢٥ أسبوعا | ٢٥ × ١٤٠ | ٣٥٠٠ ريالاً |
مقدار ما يوفره العامل في ٢٥ أسبوعًا = ٣٥٠٠ ريالاً.
تحقق: بمراجعة الجدول نجد أن الإجابة صحيحة.
١٤) نقود: لدى ندى ١٢٥ ريالا في حصالة نقودها. وتضيف إليها ٢٠ ريالا كل أسبوع وتسحب ٢٥ ريالا كل ٤ أسابيع. فكم ريالا يكون لديها بعد ٨ أسابيع؟
افهم: المبلغ الأصلي = ١٢٥ ريالاً. الإضافة = ٢٠ ريال/أسبوع. السحب = ٢٥ ريال كل ٤ أسابيع. المطلوب: المبلغ بعد ٨ أسابيع.
خطط: التخمين والتحقق والعمليات الحسابية المتتابعة.
حل:
المبلغ الأصلي = ١٢٥ ريالاً.
ما تضيفه في ٨ أسابيع = ٨ × ٢٠ = ١٦٠ ريالاً.
عدد مرات السحب في ٨ أسابيع = مرتان، أي سحبت ٢٥ × ٢ = ٥٠ ريالاً.
المبلغ المتبقي بعد ٨ أسابيع = ١٢٥ + ١٦٠ - ٥٠ = ٢٨٥ - ٥٠ = ٢٣٥ ريالاً.
تحقق: بمراجعة خطوات الحساب نجد أن الإجابة صحيحة.
الدرس ٢-٢: التمثيل بالأعمدة وبالخطوط
استعد: الوسيلة المفضلة للتواصل الاجتماعي
البريد الإلكتروني: ١٠ | برامج الجوال الذكية: ١٢ | رسائل الجوال: ٤ | الرسائل البريدية: ٢
- ما وسيلة التواصل الأكثر تفضيلا؟ برامج الجوال الذكية.
- ما الوسيلة الأقل تفضيلا؟ الرسائل البريدية.
- ما مزايا تنظيم البيانات في جدول؟ إيجاد القيم بسهولة.
- ما عيوب تنظيم البيانات في جدول؟ أن الجدول لا يعد تمثيلاً بصريا كما في التمثيلات البيانية.
تحقق من فهمك
أ) حليب: مثل بيانات الجدول بالأعمدة، ثم قارن بين عدد الطلاب الذين يفضلون طعم الشوكولاتة وعدد الذين يفضلون طعم الفانيليا.
بيانات الجدول: الشوكولاتة: ١٢ | الفراولة: ٧ | الفانيليا: ٤ | الموز: ٩
المقارنة: عدد الطلاب الذين يفضلون طعم الشوكولاتة (١٢) = ثلاثة أمثال الذين يفضلون الفانيليا (٤)، لأن ١٢ ÷ ٤ = ٣.
ب) سكان: مثل بيانات الجدول بالخطوط. وصف التغير في عدد سكان منطقة المدينة المنورة من عام ١٤٢٢هـ إلى عام ١٤٣٤هـ.
بيانات الجدول (بالآلاف): ١٤٢٢هـ: ١٤٠٠ | ١٤٢٥هـ: ١٥٠٠ | ١٤٢٨هـ: ١٦٠٠ | ١٤٣١هـ: ١٨٠٠ | ١٤٣٤هـ: ٢٠٠٠
الوصف: لو نظرنا إلى الرسم نجد أن عدد السكان في الثلاث سنوات الأولى والثانية زاد ١٠٠٠٠٠، وأما في الثلاث سنوات الثالثة والرابعة فازداد ٢٠٠٠٠٠ وهو على العموم تغير تصاعدي.
تأكد
١) ألواح: مثل البيانات في الجدول أدناه بالأعمدة. واذكر كيف يمكن المقارنة بين عدد ألواح الفولاذ وعدد ألواح الخشب.
بيانات الجدول: فولاذ: ٣٣ | خشب: ١٧ | حديد: ٢١ | ألومنيوم: ٨ | نحاس: ٦ | زنك: ٣
المقارنة: عدد ألواح الفولاذ (٣٣) = مثلي عدد ألواح الخشب (١٧) تقريبًا.
٢) نقود: مثل البيانات بالخطوط، ثم صف التغير في التوفير الكلي لسلمى من الأسبوع الأول إلى الأسبوع الخامس.
بيانات الجدول: الأسبوع ١: ١٨ ريالاً | الأسبوع ٢: ٥٤ ريالاً | الأسبوع ٣: ٧٥ ريالاً | الأسبوع ٤: ٩٨ ريالاً | الأسبوع ٥: ١٠٠ ريال
الوصف: زاد التوفير ببطء في الأسبوعين الأول والثاني، ثم ازداد بصورة أسرع في الأسبوعين الثالث والرابع، ثم عاد ليزداد ببطء في الأسبوع الخامس.
تدرب، وحل المسائل
٣) سكان: مثل بيانات عدد سكان بعض محافظات المملكة بالأعمدة، ثم قارن بين عدد سكان محافظتي شرورة وحقل.
بيانات الجدول (لأقرب ألف): النماص: ٥٤٠٠٠ | شرورة: ٨٦٠٠٠ | الخفجي: ٧٦٠٠٠ | حقل: ٢٨٠٠٠ | طريف: ٩٠٠٠٠
المقارنة: عدد سكان محافظة شرورة أكثر من عدد سكان محافظة حقل بـ ٥٨٠٠٠ نسمة تقريبًا.
٤) كواكب: مثل بالأعمدة بيانات الجدول، وبين كيف يمكنك المقارنة بين عدد أقمار المشتري وعدد أقمار نبتون؟
بيانات الجدول: الأرض: ١ | المريخ: ٢ | نبتون: ١٣ | أورانوس: ٢٧ | زحل: ٤٧ | المشتري: ٦٣
المقارنة: عدد أقمار المشتري (٦٣) = خمسة أمثال عدد أقمار نبتون (١٣) تقريبًا.
٥) طلاب: مثل بالخطوط بيانات الجدول أدناه، وصف التغير في عدد طلاب الصف السادس في مدرسة من عام ١٤٣٥ هـ - ١٤٣٩ هـ.
بيانات الجدول: ١٤٣٥: ٣٣ | ١٤٣٦: ٣٠ | ١٤٣٧: ٣٢ | ١٤٣٨: ٣٤ | ١٤٣٩: ٣٤
الوصف: أعداد الطلاب ثابتة تقريبًا على مدار السنوات مع وجود انخفاض في سنة ١٤٣٦ هـ.
٦) حديقة الحيوانات: مثل بالخطوط بيانات الجدول، وصف التغير في عدد تذاكر الدخول إلى حديقة الحيوانات في الأسابيع ١ إلى ٥.
بيانات الجدول: الأسبوع ١: ١٢٠٠ | الأسبوع ٢: ١٤٥٠ | الأسبوع ٣: ١١٥٠ | الأسبوع ٤: ١٥٧٥ | الأسبوع ٥: ١٧٥٠
الوصف: ازداد عدد التذاكر من الأسبوع الأول إلى الثاني، ثم نقص في الأسبوع الثالث، ثم عاد ليزداد في الأسبوعين الرابع والخامس.
طقس: أجب عن الأسئلة من ٧-٩ مستعملا الجدول المجاور (متوسط درجات الحرارة العظمى في الرياض):
٧) اختر التدريج وطول فترته المناسبين.
الإجابة: التدريج من ٥ إلى ٤٥ والفترة المناسبة هي ٥.
٨) مثل هذه البيانات بالأعمدة.
٩) اكتب سؤالاً يمكن الإجابة عنه باستعمال التمثيل الذي عملته.
السؤال: في أي شهر وصلت فيه درجات الحرارة العظمى إلى أعلى مستوياتها؟ الإجابة: في شهر يوليو.
مسائل مهارات التفكير العليا
١٠) تحد: هل يؤثر تغيير التدريج الرأسي أو فترته في شكل التمثيل بالأعمدة أو بالخطوط؟ فسر إجابتك بأمثلة توضيحية.
الإجابة: إذا كان التدريج الرأسي أعلى كثيرًا من أكبر قيمة فهذا يجعل التمثيل البياني يبدو منبسطاً، أما تغيير طول فترة التدريج فإنه لا يؤثر في التمثيل.
١١) اكتب مقارنة بين التمثيل بالأعمدة والتمثيل بالخطوط.
الإجابة: التمثيل بالأعمدة يوضح المقارنة بين البيانات وتصنيفها وتكرار كل صنف، أما التمثيل بالخطوط فيستعمل لتوضيح تغير البيانات مع مرور الزمن صعودا وهبوطاً.
تدريب على اختبار
١٢) سجل أمين مكتبة مدرسية أنواع الكتب وعددها التي استعارها عدد من الطلاب. أي تمثيل بالأعمدة مما يأتي يمثل هذه البيانات؟ (إسلامية: ٤٦، علمية: ٢٠، ثقافية: ١٠، قصص: ١٠، ألغاز وأحاجي: ١٥)
الإجابة الصحيحة: الاختيار ( د ).
مراجعة تراكمية
١٣) ألوان: مثل بيانات الألوان المفضلة بجدول تكراري، ثم أوجد كم يزيد عدد الذين يفضلون اللون الأزرق على عدد الذين يفضلون اللون الأصفر.
الجدول: الأحمر: ٦ | الأخضر: ١ | الأسود: ٢ | الأزرق: ٧ | الأصفر: ٣ | الأبيض: ٥
الفرق = ٧ - ٣ = ٤ طلاب.
حل كل معادلة مما يأتي ذهنيا:
١٤) س + ٤ = ١٢ => س = ٨ (لأن ٨ + ٤ = ١٢)
١٥) ٩ - ل = ٥ => ل = ٤ (لأن ٩ - ٤ = ٥)
١٦) م - ٨ = ٢٠ => م = ٢٨ (لأن ٢٨ - ٨ = ٢٠)
الاستعداد للدرس اللاحق - رتب كل مجموعة من البيانات الآتية من الأصغر إلى الأكبر:
١٧) ٦٤، ٦٥، ٦٣، ٥٥، ٧٧، ٥١، ٥٢، ٥٤، ٧٨
الترتيب: ٥١، ٥٢، ٥٤، ٥٥، ٦٣، ٦٤، ٦٥، ٧٧، ٧٨
١٨) ١١٣، ١١٤، ٩٨، ١٠٥، ١٢٠، ١١٧، ١٢٣، ١٠١
الترتيب: ٩٨، ١٠١، ١٠٥، ١١٣، ١١٤، ١١٧، ١٢٠، ١٢٣
توسع ٢-٢: معمل الجداول الإلكترونية (التمثيل بالأعمدة والخطوط)
حلل النتائج
١) وَضّح الخطوات اللازمة عندما تُضيف عمودًا خامسًا يُمثل المستوى (ضعيف) بطالب واحد.
الإجابة: يتم إدخال الكلمة "ضعيف" في العمود A ورقم "١" في العمود B، ثم إعادة تظليل النطاق الجديد واختيار التمثيل البياني مجدداً.
٢) اجمع البيانات: اجمع البيانات حول أعداد الطلاب في فصلك وفق مستوياتهم في إحدى الموادِ. مَثْلِ البيانات بالأعمدة، ثمَّ فَسِّر فائدة التمثيل.
فائدة التمثيل: يستطيع الطالب القيام بتحليل البيانات بصورة أفضل مما كانت عليه داخل الجدول حيث تسهل من عملية الحصول على القيم المقابلة وإجراء المقارنات بصورة بسيطة للغاية بمجرد النظر إليها.
٣) وَضّح الخطوات اللازمة لإضافة بيانات قياس ارتفاع الشَّجرة في عُمر ٣٠ عاما.
الإجابة: إضافة ٣٠ في العمود A وإدخال الارتفاع المقابل في العمود B ثم تحديث نطاق الرسم البياني.
٤) ما الارتفاع الذي يُتوقع أن تصل إليهِ الشَّجرةُ عندما يُصبح عمرها ٣٠ عاما. فَسِّر إجابتك.
الإجابة: من المتوقع أن تصل إلى ارتفاع ٤٨ م، لأننا نلاحظ أن ارتفاع طول الشجرة يزداد تصاعديا كلما زاد عمرها.
الدرس ٢-٣: التمثيل بالنقاط
استعد: متوسط العمر المتوقع لعدد من الحيوانات
- ما عدد الحيوانات التي عمرها المتوقع ١٥ سنة؟ عددهما ٢ وهما: البقرة والأسد.
- ما عدد الحيوانات التي عمرها المتوقع من ١٠ إلى ١٥ سنة؟ عددهم ٥ وهم: الزرافة، القط، الفهد، البقرة، والأسد.
- ما أطول عمر متوقع؟ ٢٠ سنة وهو عمر الشمبانزي والحصان.
- ما أقصر عمر متوقع؟ ٣ سنوات وهو عمر الفأر.
تحقق من فهمك
أ) أعمار المعلمين في مدرسة (بالسنوات): مثل البيانات بالنقاط.
البيانات: ٣٥، ٤٠، ٤٥، ٢٧، ٣٠، ٣٢، ٤٠، ٣٢، ٢٨، ٤٥، ٣٢، ٤٠، ٣٢، ٣١، ٣٢، ٢٧، ٥٠، ٣٥، ٣٠، ٢٥.
تحليل: ٥ معلمين أعمارهم ٣٢ سنة وهم الأكثر تكراراً.
مكتبة: استعمل تمثيل النقاط (عدد القصص التي يمتلكها ٢٢ طالبًا):
ب) ما عدد الطلاب الذين لديهم ٣ قصص؟ طالبان.
جـ) ما عدد الطلاب الذين لديهم ١٠ قصص أو أكثر؟ ١٠ طلاب.
د) اكتب جملة أو جملتين لتحليل البيانات:
- أغلب الطلاب لديهم أقل من ١٠ قصص.
- هناك ٤ طلاب ليس لديهم قصص.
تأكد
١) وظائف: مثل أعداد المتقدمين لوظائف حكومية بالنقاط (٦٥، ٧٥، ٦٥، ٦٦، ٦٦، ٦٣، ٧٨، ٦٤، ٦٥، ٦٥).
كتل: استعمل تمثيل النقاط للإجابة عن الأسئلة من ٢-٤ (كتل مجموعة من الأطفال بالكيلوجرامات):
٢) ما الكتلة التي يشترك فيها ٤ أطفال؟ ٢٠ كجم.
٣) ما عدد الأطفال الذين كتلهم ٢٢ كجم أو أكثر؟ ٥ أطفال.
٤) اكتب جملة أو جملتين لتحليل البيانات:
- أوزان الأطفال بين ١٦ و٢٤ كجم.
- يوجد طفلان وزنهما ٢٤ كجم.
تدرب، وحل المسائل
مثل البيانات الآتية بالنقاط:
٥) درجات اختبار الرياضيات: ٨٥، ٨٠، ٩٥، ٧٨، ٩٠، ٩٥، ٨٢، ٧٠، ٧٨، ٨٢، ٨٥، ٩٥، ٨٢، ٨٥، ٩٠، ٧٥، ٨٠، ٨٢، ٧٥، ٧٦.
٦) ثمن مشتريات عدة أشخاص من متجر (ريال): ٥٠، ١١٠، ٦٩، ٧٧، ٥٧، ٨٨، ٨٨، ١٠١، ٨٨، ٥٤، ٧٢، ٧٨، ١٠٢، ١٠٠، ٧٣، ٨٠، ٨٥.
كرة قدم: استعمل تمثيل النقاط للإجابة عن الأسئلة ٧-١٠ (أعمار لاعبي فريق كرة القدم):
٧) ما عدد لاعبي الفريق الذين تبلغ أعمارهم ٢٨ سنة؟ لاعبان اثنان.
٨) أيُّ الأعمار أكثر ظهورًا بين لاعبي الفريق؟ ٢٦ سنة.
٩) ما الفرق بين عمري أكبر اللاعبين وأصغرهم؟ ٣٥ - ٢٣ = ١٢ سنة.
١٠) اكتب جملة أو جملتين لتحليل البيانات:
- عمر أصغر اللاعبين = ٢٣ سنة.
- أعمار أغلب اللاعبين فوق ٢٥ سنة.
طعام: استعمل التمثيل بالنقاط للأجوبة ١١-١٤ (كمية البروتين في وجبة مختارة من أنواع اللحوم بالجرامات):
١١) بكم يزيد عدد أنواع اللحوم التي تحتوي على ٢٣ جرامًا من البروتين على تلك التي تحتوي على ١٧ جرامًا منه؟ ٤ - ١ = ٣ أنواع.
١٢) إذا كانت قمة التمثيل بالنقاط تمثل القيمة الأكثر تكرارًا، فما القمة في هذا التمثيل؟ ٢٣ جراماً من البروتين.
١٣) اكتب جملة أو جملتين لتحليل البيانات:
- أكثر كمية بروتين في اللحوم تكرارا هي ٢٣ جرام.
- يوجد ٣ أنواع من اللحوم تحتوي على ١٦ جراما من البروتين.
١٤) هل التمثيل السابق متماثلا؟ فسر ذلك. الإجابة: لا، لأن هناك قيم أكثر على الجانب الأيمن.
جري: استعمل الجدول الذي يوضح زمن ممارسة رياضة الجري بالدقائق للأسئلة ١٥-١٧:
١٥) مثل البيانات بالنقاط ثم بالأعمدة.
١٦) أيُّ التمثيلين أسهل في تحديد عدد الطلاب الذين احتاجوا إلى ٢٩ دقيقة في الجري؟ فسر ذلك.
الإجابة: التمثيل بالنقاط أسهل لأنه يمكننا أن نحدد موقع ٢٩ بسهولة على خط الأعداد ثم نعد إشارات × فوقه لمعرفة عدد الطلاب.
١٧) أي التمثيلين أسهل للمقارنة بين زمني ماجد وعادل؟ فسر ذلك.
الإجابة: التمثيل بالأعمدة أسهل لأنه بمجرد النظر نستطيع المقارنة بين زمني ماجد وعادل.
مسائل مهارات التفكير العليا
١٨) جمع البيانات: مثل بيانات أطوال طلاب صفك بالنقاط (متروك للطالب/ـة).
١٩) دلالات البيانات: التمثيلان يوضحان درجات طالبين في سبع مواد. صف شكل كل تمثيل منهما.
الوصف: حصل الطالب الأول على درجات أعلى وأكثر تجمعا من الطالب الثاني، والتمثيلان غير متماثلين.
٢٠) تحد: حدد التجمعات للبيانات الآتية: ٣٠، ٢٦، ١٢، ١٤، ٤٠، ١٢، ١٣، ١٢، ١٢، ١١، ٢٣، ٢٢.
الإجابة: يوجد تجمع بين ١١ و١٣.
٢١) اكتب مقارنة بين التمثيل بالنقاط والتمثيل بالخطوط.
الإجابة: كلاهما ينظم البيانات ويساعد في تفسيرها، إلا أن التمثيل بالنقاط يحتاج إلى محور واحد فقط وهو المحور الأفقي ولابد أن نحدد نقطة البداية ونقطة النهاية بتحديد أصغر رقم وأكبر رقم وهو يوضح كيفية انتشار البيانات، بينما التمثيل بالخطوط فيحتاج إلى محورين (محور رأسي ومحور أفقي) وهو يوضح تغير العلاقات عبر الزمن.
تدريب على اختبار
٢٢) يبين الجدول أسعار أنواع مختلفة من الأقراص المدمجة التعليمية بالريال. ما التمثيل بالنقاط الذي يمثل هذا الجدول؟
الإجابة الصحيحة: الاختيار ( جـ ).
مراجعة تراكمية
٢٣) مثل بيانات أعمار البنات ومعدل أطوالهن بالخطوط.
٢٤) مسافات: كون جدولاً تكرارياً لبيانات بعد البيت عن المدرسة، واذكر كم يزيد عدد الطلاب الذين تبعد بيوتهم ٥ كلم على الذين تبعد بيوتهم ٧ كلم.
الفرق = ٨ - ٣ = ٥ طلاب.
٢٥) نقود: حل المعادلة ٣ م = ٤٨ لإيجاد عدد أقلام الرصاص.
باستعمال التخمين والتحقق: تجربة ١٦ -> ٣ × ١٦ = ٤٨. إذاً عدد أقلام الرصاص = ١٦ قلماً.
الاستعداد للدرس اللاحق - أوجد قيمة كل مما يأتي:
٢٦) (١٥ + ١٧) ÷ ٢ = ٣٢ ÷ ٢ = ١٦
٢٧) (٤ + ٣ + ٨) ÷ ٣ = ١٥ ÷ ٣ = ٥
٢٨) (١٠ + ٢٣ + ٥ + ١٨) ÷ ٤ = ٥٦ ÷ ٤ = ١٤
اختبار منتصف الفصل (الدروس من ٢-١ إلى ٢-٣)
١) حقائب مدرسية: مثل البيانات في جدول تكراري، ثم أوجد عدد الحقائب التي سعرها بين ٥٠ ريالا و ٦٩ ريالا.
البيانات المقابلة للفئة: ٥٥، ٥٩، ٥٩، ٦٣، ٦٤، ٦٧.
عدد الحقائب = ١ + ٢ + ١ + ١ + ١ = ٦ حقائب.
٢) أزهار: مثل البيانات بالأعمدة، ثم قارن بين عدد أزهار الياسمين وعدد أزهار الفل.
الياسمين: ٣٨ | القرنفل: ٢٧ | الفل: ١٣ | الجوري: ٩
المقارنة: عدد أزهار الياسمين أكبر من عدد أزهار الفل، لأن عدد أزهار الياسمين يساوي ثلاثة أمثال عدد أزهار الفل تقريبًا (٣٨ ≈ ٣ × ١٣).
٣) اختيار من متعدد: الجدول يمثل أسعار ٥ وجبات بالريال في أحد المطاعم. أي جملة مما يأتي تتفق مع هذه البيانات؟
الإجابة الصحيحة: الاختيار ( د ) سعر وجبة الخضار نصف سعر وجبة المشويات.
٤) سمك: مثل بيانات جدول نمو طول السمكة بالخطوط، وصف التغير في طول السمكة من عمر أسبوعين إلى ٦ أسابيع.
الوصف: نلاحظ أن السمكة يزداد طولها أسبوعيًا بشكل تصاعدي.
٥) كتل طلاب: مثل بيانات كتل الطلاب بالنقاط (٣٥، ٣٧، ٣٨، ٣٥، ٣٧، ٣٧، ٣٧، ٣٨، ٣٥، ٣٦، ٣٦، ٣٨، ٣٣، ٣٣، ٣٤، ٣٧، ٣٩، ٣٩).
نقود: يعرض التمثيل بالنقاط المبالغ مع ٢٠ طالبا:
٦) ما عدد الطلاب الذين معهم ٩ ريالات؟ ٤ طلاب.
٧) ما عدد الطلاب الذين معهم أقل من ٨ ريالات؟ ٥ طلاب.
٨) ما المبلغ الذي مع أكثر عدد من الطلاب؟ ١٠ ريالات.
الدرس ٢-٤: المتوسط الحسابي
نشاط
نمو خمس نبتات: ٤ سم، ٣ سم، ٥ سم، ١ سم، ٢ سم.
- أوجد معدل نمو النبتات الخمس خلال الأسبوع: المتوسط الحسابي = (٤ + ٣ + ٥ + ١ + ٢) ÷ ٥ = ١٥ ÷ ٥ = ٣ سم.
- افترض أن لدينا نبتة سادسة تنمو بمقدار ٩ سم، فما عدد المكعبات عندئذ في كل نموذج؟ المتوسط الجديد = (١٥ + ٩) ÷ ٦ = ٢٤ ÷ ٦ = ٤ مكعبات.
تحقق من فهمك
أ) ألعاب تعليمية: أوجد المتوسط الحسابي لعدد الأقراص (رائد: ٣، حازم: ٥، أيمن: ٤، سعد: ٠، أحمد: ٣).
المتوسط الحسابي = (٣ + ٥ + ٤ + ٠ + ٣) ÷ ٥ = ١٥ ÷ ٥ = ٣ أقراص.
ب) حدد القيمة المتطرفة في قيم الأسعار الآتية: ١١٠، ١٢٠، ١١٠، ١٣٥، ١٤٠، ١٢٠، ١٠٥، ٤٤٠. وأوجد المتوسط الحسابي مع وجودها ودون وجودها، ثم صف تأثيرها.
- القيمة المتطرفة هي ٤٤٠ لأنها قيمة عالية جداً مقارنة ببقية القيم.
- المتوسط الحسابي مع القيمة المتطرفة = (١١٠ + ١٢٠ + ١١٠ + ١٣٥ + ١٤٠ + ١٢٠ + ١٠٥ + ٤٤٠) ÷ ٨ = ١٢٨٠ ÷ ٨ = ١٦٠ ريالاً.
- المتوسط الحسابي بدون القيمة المتطرفة = (١١٠ + ١٢٠ + ١١٠ + ١٣٥ + ١٤٠ + ١٢٠ + ١٠٥) ÷ ٧ = ٨٤٠ ÷ ٧ = ١٢٠ ريالاً.
- التأثير: القيمة المتطرفة تؤثر على المتوسط الحسابي وتجعله أعلى من أغلب البيانات ولا يصفها بشكل جيد.
تأكد
أوجد المتوسط الحسابي للبيانات الممثلة في الشكلين الآتيين:
١) عدد الكتب المستعارة (زينب: ٦، فاطمة: ٢، عائشة: ١، صفية: ٣، رقية: ٣):
المتوسط الحسابي = (٦ + ٢ + ١ + ٣ + ٣) ÷ ٥ = ١٥ ÷ ٥ = ٣ كتب.
٢) عدد الأشقاء (شهد: ٧، ليان: ٣، نهلة: ٤، لجين: ١، ريم: ٥):
المتوسط الحسابي = (٧ + ٣ + ٤ + ١ + ٥) ÷ ٥ = ٢٠ ÷ ٥ = ٤ أشقاء.
جغرافيا: لحل الأسئلة ٣-٥، استعمل جدول أعماق المحيطات (الهادئ: ٤٦٣٧، الأطلسي: ٣٩٢٦، الهندي: ٣٩٦٣، القطبي الشمالي: ١٢٠٥، القطبي الجنوبي: ٤٤٩٤):
٣) ما المتوسط الحسابي لهذه البيانات؟
المتوسط مع القيمة المتطرفة = (٤٦٣٧ + ٣٩٢٦ + ٣٩٦٣ + ١٢٠٥ + ٤٤٩٤) ÷ ٥ = ١٨٢٢٥ ÷ ٥ = ٣٦٤٥ متراً.
المتوسط بدون القيمة المتطرفة = (٤٦٣٧ + ٣٩٢٦ + ٣٩٦٣ + ٤٤٩٤) ÷ ٤ = ١٧٠٢٠ ÷ ٤ = ٤٢٥٥ متراً.
٤) ما القيمة المتطرفة؟ فسر إجابتك.
القيمة المتطرفة هي ١٢٠٥ لأنها منخفضة جداً مقارنة ببقية القيم.
٥) كيف تؤثر هذه القيمة المتطرفة في المتوسط الحسابي؟
تجعل المتوسط الحسابي أقل من معظم القيم، بينما يمثل المتوسط بدونها البيانات بصورة أفضل.
تدرب، وحل المسائل
أوجد المتوسط الحسابي للبيانات الممثلة في الأشكال الآتية:
٦) عدد أكياس الفشار المبيعة (خالد: ٨، عمر: ٥، سعود: ٧، سهيل: ١٢):
المتوسط الحسابي = (٨ + ٥ + ٧ + ١٢) ÷ ٤ = ٣٢ ÷ ٤ = ٨ أكياس.
٧) التوفير الأسبوعي بالريالات (ريم: ٧، مها: ١١، فاطمة: ٤، سعاد: ٥، خلود: ٨):
المتوسط الحسابي = (٧ + ١١ + ٤ + ٥ + ٨) ÷ ٥ = ٣٥ ÷ ٥ = ٧ ريالات.
٨) أطوال الطلاب (عامر: ١٤٢، عماد: ١٦٨، محمد: ١٤٢، علي: ١٥٠):
المتوسط الحسابي = (١٤٢ + ١٦٨ + ١٤٢ + ١٥٠) ÷ ٤ = ٦٠٢ ÷ ٤ = ١٥٠,٥ سم.
٩) درجات عبير النهائية (حديث: ٨٧، فقه: ٩٣، علوم: ٨٦، رياضيات: ٩٠، فني: ٨٤):
المتوسط الحسابي = (٨٧ + ٩٣ + ٨٦ + ٩٠ + ٨٤) ÷ ٥ = ٤٤٠ ÷ ٥ = ٨٨ درجة.
طبيعة: استعمل جدول ارتفاع بعض الأشجار البرية (النخلة: ٣٠، العرعر: ٦، الزعرور: ١٠، السنديان: ١٥، الملول: ١٥، الأکاسيا: ٨):
١٠) أوجد المتوسط الحسابي للبيانات.
المتوسط الحسابي = (٣٠ + ٦ + ١٠ + ١٥ + ١٥ + ٨) ÷ ٦ = ٨٤ ÷ ٦ = ١٤ متراً.
١١) أوجد القيمة أو القيم المتطرفة.
القيمة المتطرفة هي ٣٠ متراً.
١٢) أوجد المتوسط الحسابي عند استبعاد القيمة المتطرفة.
المتوسط الحسابي = (٦ + ١٠ + ١٥ + ١٥ + ٨) ÷ ٥ = ٥٤ ÷ ٥ = ١٠,٨ أمتار.
١٣) كيف تؤثر القيمة المتطرفة في المتوسط الحسابي؟
تؤثر عليه وتجعله أعلى من معظم القيم ولا يصف البيانات بدقة.
أوجد المتوسط الحسابي لكل مجموعة بيانات مما يأتي، واشرح طريقتك:
١٤) التوفير الشهري بالريالات: ٢٨، ٣٠، ٣٢، ٢١، ٢٩، ٢٨، ٢٨.
المتوسط الحسابي = (٢٨ + ٣٠ + ٣٢ + ٢١ + ٢٩ + ٢٨ + ٢٨) ÷ ٧ = ١٩٦ ÷ ٧ = ٢٨ ريالاً.
١٥) أعمار عدد من الطلاب بالسنوات: ١٣، ١٧، ١٤، ١٦، ١٦، ١٤، ١٦، ١٤.
المتوسط الحسابي = (١٣ + ١٧ + ١٤ + ١٦ + ١٦ + ١٤ + ١٦ + ١٤) ÷ ٨ = ١٢٠ ÷ ٨ = ١٥ سنة.
١٦) قيمة فاتورة الكهرباء المستحقة: ٣٧١، ٣٥٦، ٣٢٨، ٢٩٠، ٢٩٧.
المتوسط الحسابي = (٣٧١ + ٣٥٦ + ٣٢٨ + ٢٩٠ + ٢٩٧) ÷ ٥ = ١٦٤٢ ÷ ٥ = ٣٢٨,٤ ريالاً.
مسائل مهارات التفكير العليا
١٧) تبرير: "المتوسط الحسابي لمجموعة من البيانات هو أحد تلك البيانات". هل هذه الجملة صحيحة أحيانًا، أم صحيحة دائمًا، أم غير صحيحة أبدًا؟
الإجابة: صحيحة أحياناً. فمثلاً المتوسط الحسابي للبيانات (٣، ٦، ٩) هو ٦ (وهو ضمن القيم)، بينما للبيانات (٥، ٦، ١٠) هو ٧ (وليس ضمن القيم).
١٨) اختيار طريقة: كان عدد رواد أحد المطاعم في ٦ أيام: ٣١٩، ١٢٧، ٢٤٤، ٣٩٨، ٤٢٧، ٢٦١. أي الطرق يمكنك استعمالها لتجد المتوسط الحسابي؟ (رسم نموذج، آلة حاسبة، التقدير).
الإجابة: آلة حاسبة، وذلك بسبب كبر قيم البيانات. المتوسط الحسابي = ١٧٧٦ ÷ ٦ = ٢٩٦ شخصاً.
١٩) تحد: أوجد قيمة (س) إذا كان المتوسط الحسابي للأعمار ٤٠، ٤٥، ٤٨، س، ٤٢، ٤١ يساوي ٤٥.
الحل: (٤٠ + ٤٥ + ٤٨ + س + ٤٢ + ٤١) ÷ ٦ = ٤٥
(٢١٦ + س) ÷ ٦ = ٤٥ => ٢١٦ + س = ٢٧٠ => س = ٢٧٠ - ٢١٦ = ٥٤.
٢٠) اكتب: إذا كان المتوسط الشهري لهطول المطر ٣٠ ملمترًا، فحدد دون حساب كيف يتأثر المتوسط إذا كان الهطول في الشهر التالي ٢٠ ملم أو ٣٥ ملم أو ٣٠ ملم.
الإجابة: إذا كان ٢٠ ملم يقل المتوسط لأن ٢٠ < ٣٠. إذا كان ٣٥ ملم يزداد المتوسط لأن ٣٥ > ٣٠. إذا كان ٣٠ ملم لن يتأثر المتوسط لأنه يساوي المعدل الحالي.
تدريب على اختبار
٢١) يبين التمثيل بالأعمدة عدد اللوحات الفنية التي رسمها فيصل في السنوات ١٤٣٥-١٤٣٨هـ (١٤٣٥: ٨، ١٤٣٦: ١٤، ١٤٣٧: ١٢، ١٤٣٨: ١٠). ما المتوسط الحسابي لعدد اللوحات في السنة؟
المتوسط الحسابي = (٨ + ١٤ + ١٢ + ١٠) ÷ ٤ = ٤٤ ÷ ٤ = ١١ لوحة. الاختيار الصحيح: ( جـ ).
٢٢) يبين الجدول عدد الكتب المبيعة خلال أسبوع (السبت: ٥٨، الأحد: ٤٧، الإثنين: ٥٤، الثلاثاء: ٧٠، الأربعاء: ٤٥، الخميس: ٨٠). ما المتوسط الحسابي؟
المتوسط الحسابي = (٥٨ + ٤٧ + ٥٤ + ٧٠ + ٤٥ + ٨٠) ÷ ٦ = ٣٥٤ ÷ ٦ = ٥٩ كتاباً. الاختيار الصحيح: ( أ ).
مراجعة تراكمية
٢٣) مثل درجات الطلاب بالنقاط (١٩، ١٨، ١٥، ١٦، ١٥، ١٦، ١٤، ١٨، ١٤، ١٦، ١٥، ١٢).
حل كل معادلة مما يأتي ذهنيا:
٢٤) ١٦ + ص = ٢٤ => ص = ٨ (لأن ١٦ + ٨ = ٢٤)
٢٥) ٥٠ - م = ١٥ => م = ٣٥ (لأن ٥٠ - ٣٥ = ١٥)
٢٦) ١٤ ل = ٤٢ => ل = ٣ (لأن ١٤ × ٣ = ٤٢)
الاستعداد للدرس اللاحق - أوجد ناتج طرح كل مما يأتي:
٢٧) ٧٥ - ٦٤ = ١١
٢٨) ١٢٠٦ - ٨٠٩ = ٣٩٧
٢٩) ٥٧١ - ٢١٨ = ٣٥٣
الدرس ٢-٥: الوسيط والمنوال والمدى
استعد: عدد أعاصير المحيط الأطلسي في عدة سنوات (٤، ٥، ٧، ٨، ٩، ٩، ١٥)
- رتب البيانات من الأصغر إلى الأكبر: ٤، ٥، ٧، ٨، ٩، ٩، ١٥.
- ما المفردة التي تقع في منتصف هذه القائمة؟ المفردة هي ٨ وتسمى (الوسيط).
- قارن هذا العدد بالمتوسط الحسابي للبيانات: المتوسط الحسابي = ٥٧ ÷ ٧ = ٨,١. بعد التقريب يصبح ٨، وعند مقارنته بالوسيط نجد أنهما متساويان.
تحقق من فهمك
أ) بنايات: القائمة توضح عدد الطوابق في ١١ بناية (١٩، ١٧، ٢١، ٢٤، ٢٠، ٣٠، ٣٣، ٣٧، ٤٠، ٣٨، ٤٠). أوجد الوسيط والمنوال.
الترتيب: ١٧، ١٩، ٢٠، ٢١، ٢٤، ٣٠، ٣٣، ٣٧، ٣٨، ٤٠، ٤٠.
الوسيط = ٣٠ طابقاً.
المنوال = ٤٠ طابقاً.
ب) اختبار: درجات نوف في ثماني مواد (٩٨، ٨٣، ٧٥، ٧٤، ٧٠، ٨٢، ٩٥، ٨٨). أوجد مدى البيانات واوصف توزيعها.
المدى = أكبر قيمة - أصغر قيمة = ٩٨ - ٧٠ = ٢٨ درجة.
الوصف: يعد المدى صغيرًا نسبيًا ويدل على تجمع البيانات وانتشارها الضيق.
جـ) سرعة: سرعات بعض الحيوانات (٥٤، ٧٢، ٢٤، ٧٠، ٨٧، ٥٥، ٧٢). أوجد المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال والمدى.
المتوسط الحسابي = (٥٤ + ٧٢ + ٢٤ + ٧٠ + ٨٧ + ٥٥ + ٧٢) ÷ ٧ = ٤٣٤ ÷ ٧ = ٦٢ كلم/ساعة.
الترتيب: ٢٤، ٥٤، ٥٥، ٧٠، ٧٢، ٧٢، ٨٧.
الوسيط = ٧٠ كلم/ساعة.
المنوال = ٧٢ كلم/ساعة.
المدى = ٨٧ - ٢٤ = ٦٣ كلم/ساعة (مدى كبير مبيناً انتشار واسع للبيانات).
د) كرة اليد: أهداف فريق كرة اليد. أي الجمل تتفق مع البيانات؟
الإجابة الصحيحة: الجملة ( أ ) إذا قُسمت الأهداف بالتساوي على اللاعبين، فسيكون عدد أهداف كل منهم ٣ (تتعلق بالمتوسط الحسابي = ٤٥ ÷ ١٥ = ٣).
تأكد
أوجد الوسيط والمنوال والمدى لكل مجموعة من البيانات الآتية:
١) عدد الطلاب في سبعة أنشطة مدرسية: ١٥، ٢٠، ٢٣، ١٣، ١٧، ٢١، ١٧.
الترتيب: ١٣، ١٥، ١٧، ١٧، ٢٠، ٢١، ٢٣.
الوسيط = ١٧ | المنوال = ١٧ | المدى = ٢٣ - ١٣ = ١٠
٢) المصروف الشهري لطالب بالريالات: ٤٦، ٦٢، ٦٣، ٥٧، ٥٠، ٤٢، ٥٦، ٤٠.
الترتيب: ٤٠، ٤٢، ٤٦، ٥٠، ٥٦، ٥٧، ٦٢، ٦٣.
الوسيط = (٥٠ + ٥٦) ÷ ٢ = ١٠٦ ÷ ٢ = ٥٣ | المنوال = لا يوجد | المدى = ٦٣ - ٤٠ = ٢٣
أوجد المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال والمدى للبيانات الممثلة في السؤالين ٣، ٤:
٣) أسعار كتب الأطفال (بالريال): ١١، ١٢، ١٢، ١٢، ١٢، ١٥، ١٥، ١٦، ١٦، ١٨، ١٩، ١٩، ٢٢، ٢٥.
المتوسط الحسابي = ٢٢٤ ÷ ١٤ = ١٦ ريالاً.
الوسيط = (١٥ + ١٦) ÷ ٢ = ١٥,٥ ريالاً.
المنوال = ١٢ ريالاً.
المدى = ٢٥ - ١١ = ١٤ ريالاً.
٤) أعضاء الإذاعة المدرسية (١٤٣٤: ١٤، ١٤٣٥: ١٩، ١٤٣٦: ٢١، ١٤٣٧: ٢٦، ١٤٣٨: ٤٠):
المتوسط الحسابي = (١٤ + ١٩ + ٢١ + ٢٦ + ٤٠) ÷ ٥ = ١٢٠ ÷ ٥ = ٢٤ عضواً.
الوسيط = ٢١ | المنوال = لا يوجد | المدى = ٤٠ - ١٤ = ٢٦
٥) اختيار من متعدد: الجدول يوضح أطوال أنفاق مكة (جبل هندي: ٤٨٤، قلعة أجياد: ٣٥٩، السبع بنات: ١٧٨، جبل أبي قبيس: ٥٩٥). أي الجمل تتفق مع البيانات؟
المتوسط الحسابي = (٤٨٤ + ٣٥٩ + ١٧٨ + ٥٩٥) ÷ ٤ = ١٦١٦ ÷ ٤ = ٤٠٤ أمتار.
الإجابة الصحيحة: الاختيار ( ب ) إذا تم توزيع أطوال الأنفاق بالتساوي فيما بينها، فسيصبح طول كل منها ٤٠٤ أمتار.
تدرب، وحل المسائل
أوجد الوسيط والمنوال والمدى لكل مجموعة من البيانات الآتية:
٦) أعمار موظفين: ٢٣، ٢١، ٢٧، ٣٦، ٤٤.
الترتيب: ٢١، ٢٣، ٢٧، ٣٦، ٤٤.
الوسيط = ٢٧ | المنوال = لا يوجد | المدى = ٤٤ - ٢١ = ٢٣
٧) ارتفاع مباني بالأمتار: ٢٣، ٢٧، ٢٤، ٢٦، ٢٦، ٢٤، ٢٦، ٢٤.
الترتيب: ٢٣، ٢٤، ٢٤، ٢٤، ٢٦، ٢٦، ٢٦، ٢٧.
الوسيط = (٢٤ + ٢٦) ÷ ٢ = ٢٥ | المنوال = ٢٤ و ٢٦ | المدى = ٢٧ - ٢٣ = ٤
أوجد المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال والمدى للبيانات الممثلة في السؤالين ٨، ٩:
٨) متوسط السرعة (كلم / ساعة): ٤٠، ٤٠، ٤٠، ٤١، ٤٤، ٤٤، ٤٦، ٥٠، ٥٠، ٥٣، ٥٣، ٥٥، ٥٥، ٥٥.
المتوسط الحسابي = ٦٤٤ ÷ ١٤ = ٤٦ كلم/ساعة.
الوسيط = (٤٤ + ٤٦) ÷ ٢ = ٤٥ كلم/ساعة.
المنوال = ٤٠ و ٥٥ | المدى = ٥٥ - ٤٠ = ١٥
٩) المصروف الشهري لثلاث عائلات (أ: ٢٥٠٠، ب: ٥٠٠٠، جـ: ١٨٠٠):
المتوسط الحسابي = (٢٥٠٠ + ٥٠٠٠ + ١٨٠٠) ÷ ٣ = ٩٣٠٠ ÷ ٣ = ٣١٠٠ ريال.
الوسيط = ٢٥٠٠ ريال | المنوال = لا يوجد | المدى = ٥٠٠٠ - ١٨٠٠ = ٣٢٠٠ ريال.
١٠) عدد الصفحات التي قرأتها سارة: ٦، ٨، ٨، ١٠، ١١، ١٢، ١٥.
المتوسط الحسابي = ٧٠ ÷ ٧ = ١٠ صفحات.
الوسيط = ١٠ صفحات | المنوال = ٨ صفحات | المدى = ١٥ - ٦ = ٩ صفحات.
١١) عدد الوظائف المتوفرة في الشركة: ٨، ١٠، ١٢، ١٣، ١٥، ٢٦.
المتوسط الحسابي = ٨٤ ÷ ٦ = ١٤ وظيفة.
الوسيط = (١٢ + ١٣) ÷ ٢ = ١٢,٥ وظيفة | المنوال = لا يوجد | المدى = ٢٦ - ٨ = ١٨
١٢) جهود دولية: أوجد المتوسط الحسابي لكميات الأقراص المخدرة المضبوطة (مليون):
المتوسط الحسابي = (١٦ + ٣٤,٢ + ٤٦,٢ + ١٩,٥ + ٣٧,٩ + ٣٧ + ٣٧,٢ + ١,١) ÷ ٨ = ٢٢٩,١ ÷ ٨ = ٢٨,٦٣٧٥ مليون قرص.
١٣) تحليل جداول: كانت درجات الحرارة العظمى في جدة أعلى بثماني درجات عنها في الطائف. فما المقياس الَّذِي استعمل لإصدار هذا الحكم؟
الإجابة: المنوال. لأن المنوال لجدة = ٢٨°س وللطائف = ٢٠°س، والفرق ٢٨ - ٢٠ = ٨°س.
١٤) إيجاد البيانات: اقترح بيانات يكون استعمال الوسيط فيها هو أفضل ما يمكن. وبرر إجابتك.
الإجابة: درجات سبعة طلاب في اختبار من ١٠٠: (٩٥، ٧٨، ٨١، ٤٨، ٥٥، ٥٠، ٦٠). الوسيط = ٦٠% وهو الأفضل للتعرف على المستوى دون التأثر بالقيم المتطرفة.
مسائل مهارات التفكير العليا
١٥) جمع بيانات: سجل عدد الطلاب الحاضرين في فصلك (نشاط متروك للطالب/ـة).
١٦) تحد: كانت أسعار ٧ كتب: ١٢، ١٧، ٤٥، ١٨، ٨، ٢٥، ١٨. أوجد سعر الكتاب الثامن إذا كان المتوسط الحسابي لأسعار الكتب الثمانية هو ٢٣ ريالا.
الحل: مجموع الأسعار = (١٢ + ١٧ + ٤٥ + ١٨ + ٨ + ٢٥ + ١٨) + س = ١٤٣ + س.
(١٤٣ + س) ÷ ٨ = ٢٣ => ١٤٣ + س = ١٨٤ => س = ١٨٤ - ١٤٣ = ٤١ ريالاً.
١٧) تبرير: مشاركات الطلاب في مسابقة الإلقاء (٠، ٠، ١، ١، ٢، ٠، ١، ١، ٢، ٢، ٠، ١، ١، ٢، ٠، ٢، ١، ٣).
- "المشاركة مرة واحدة كانت الأكثر انتشارًا": عبارة صحيحة، لأن المشاركة مرة واحدة تكررت ٧ مرات (المنوال = ١).
- "نصف الطلاب شاركوا أكثر من ٣ مرات": عبارة خاطئة.
١٨) اكتب: أي مقاييس النزعة المركزية أفضل لوصف البيانات (٣، ٧، ٤، ٢، ٣١، ٥، ٤)؟
الإجابة: الوسيط أو المنوال، وذلك بسبب وجود القيمة المتطرفة ٣١ التي تؤثر سلبياً على المتوسط الحسابي.
تدريب على اختبار
١٩) جدول عدد طلاب مدرسة (١٢٤، ١٣٦، ١٣٦، ١٣٦، ١٣٨، ١٤٢، ١٤٢، ١٥٠). أي جملة تتفق مع البيانات؟
الإجابة الصحيحة: الاختيار ( د ) أكثر تكرار لعدد الطلاب في السنوات كان ١٣٦ طالبًا (المنوال = ١٣٦).
٢٠) إجابة قصيرة: كان مصروف مشعل في أربعة أيام: ٩ ريالات، ٦ ريالات، ٤ ريالات، ٨ ريالات. أوجد المدى.
المدى = ٩ - ٤ = ٥ ريالات.
مراجعة تراكمية
٢١) مكالمات: أوجد المتوسط الحسابي للساعات الهاتفية الشهرية (٤٩، ٦٥، ٢٠، ٣٧، ٥٥، ٦٨، ٧٥، ٥٠، ٢٤، ٣٧، ٤٢، ٣٠).
المتوسط الحسابي = ٥٥٢ ÷ ١٢ = ٤٦ ساعة.
٢٢) مثل سنوات خدمة الموظفين بالنقاط (٩، ١٥، ١٥، ١٥، ١٦، ١٧، ٢١، ٢١، ٢١، ٢٢، ٢٣).
احسب قيمة كل عبارة إذا كانت: س = ٣، ص = ١٢، ع = ٨:
٢٣) ٥ س + ع = (٥ × ٣) + ٨ = ١٥ + ٨ = ٢٣
٢٤) س ص ع = ٣ × ١٢ × ٨ = ٢٨٨
٢٥) (٢ ع)² + ٣ س² - ص = (٢ × ٨)² + ٣(٣)² - ١٢ = (١٦)² + ٣(٩) - ١٢ = ٢٥٦ + ٢٧ - ١٢ = ٢٧١
اختبار الفصل الثاني
١) اختيار من متعدد: الشكل الآتي يمثل عدد الساعات التي قضاها محمد وأصدقاؤه في المركز الرياضي. أي الجمل الآتية تتفق مع البيانات؟
محمد = ١٥ ساعة، فهد = ٥ ساعات.
الإجابة الصحيحة: الاختيار ( أ ) قضى محمد ثلاثة أمثال الزمن الذي قضاه فهد (١٥ = ٣ × ٥).
٢) حيوانات: مثل بيانات كتلة قطة بالجرامات بالخطوط (الأسبوع ١: ١٠٠، ٢: ٢٠٠، ٣: ٢٥٠، ٤: ٤٠٠، ٥: ٥٠٠، ٦: ٥٥٠).
أوجد المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال والمدى لمجموعتي البيانات الآتيتين:
٣) الزمن الذي استغرقه بدر في القراءة (بالدقائق): ٦٧، ٦٨، ١٠٣، ٦٥، ٨٠، ٥٣، ٥٤.
المتوسط الحسابي = ٤٩٠ ÷ ٧ = ٧٠ دقيقة.
الترتيب: ٥٣، ٥٤، ٦٥، ٦٧، ٦٨، ٨٠، ١٠٣.
الوسيط = ٦٧ دقيقة | المنوال = لا يوجد | المدى = ١٠٣ - ٥٣ = ٥٠ دقيقة.
٤) أسعار أربعة أنواع مختلفة من العصائر (بالريالات): ٥، ٨، ٦، ٥.
المتوسط الحسابي = ٢٤ ÷ ٤ = ٦ ريالات.
الترتيب: ٥، ٥، ٦، ٨.
الوسيط = (٥ + ٦) ÷ ٢ = ٥,٥ ريالات.
المنوال = ٥ ريالات | المدى = ٨ - ٥ = ٣ ريالات.
مدرسة: استعمل البيانات الآتية لحل الأسئلة ٥-٩ (سنوات خدمة معلمين):
٥) مثل البيانات بالنقاط.
٦) ما أكبر عدد لسنوات الخدمة؟ ١٩ سنة.
٧) ما منوال عدد سنوات الخدمة؟ ٦ سنوات.
٨) ما مدى عدد سنوات الخدمة لمعلمي المدرسة؟ ١٩ - ٤ = ١٥ سنة.
٩) اكتب جملتين إضافيتين لتحليل البيانات:
- يوجد ٣ معلمين خبرتهم ١٥ عاماً.
- أصغر عدد لسنوات الخدمة هو ٤ سنوات.
١٠) اختيار من متعدد: جمعت غادة معلومات عن القصص المقروءة (القصص: ٢، ٤، ٣، ٨، ٧، ٨، ٠، ١٠). أي المقاييس يمثل ١٠ قصص؟
المدى = ١٠ - ٠ = ١٠. الاختيار الصحيح: ( د ) المدى.
الاختبار التراكمي ٢
القسم ١: اختيار من متعدد
١) مبيعات القمصان (شعبان: ٧٥، رمضان: ٦٨، شوال: ٧٥، ذو القعدة: ٩٢، ذو الحجة: ١٠٥). فما متوسط هذه الأعداد؟
المتوسط الحسابي = ٤١٥ ÷ ٥ = ٨٣. الاختيار الصحيح: ( ب ).
٢) مثلت أعداد قراء مجلة خلال ثمانية أشهر بالأعمدة. أي الجمل تتفق مع البيانات؟
الإجابة الصحيحة: الاختيار ( د ) بلغ عدد القراء أكثر من ١٥٠ ألفًا في شعبان ورمضان وشوال (لأن ٧٥ + ٤٥ + ٥٥ = ١٧٥ ألفاً و ١٧٥ > ١٥٠).
٣) يوضح الجدول أعداد السيارات المُنْتَجة بحسب ألوانها (الأسود: ١٦٣، الأزرق: ١٤٥، الأحمر: ١٢٩، الفضي: ٢١٢، الأبيض: ٢٠٥). أي تمثيلات الأعمدة هو الأكثر دقة؟
اختيار التمثيل البياني الذي يطابق التدريج والرسم البياني الصحيح للقيم المعطاة.
تفاصيل المحتوى
- المادة
- رياضيات
- الفصل
- الفصل الدراسي الأول
- النوع
- حلول
- الصيغة
- آخر تحديث
مواد مشابهة
حلول
PDF
PDF حل الفصل الأول الجبر الانماط العددية والدوال
حلول
PDF
PDF حل الفصل الثالث العمليات على الكسور العشرية
أوراق عمل
PDF
PDF اوراق عمل الرياضيات
حلول
PDF
PDF حل الفصل الرابع الكسور الاعتيادية والكسور العشرية
حلول
PDF
PDF حل الفصل الخامس القياس الطول والكتلة والسعة
توزيعات
PDF
PDF توزيع منهج الرياضيات
اختبارات
PDF
PDF اختبار رياضيات الفترة الاولى
ملخصات
PDF
PDF ملخص مادة الرياضيات