ملخص رياضيات ثالث متوسط الفصل الاول 1448

الفصل الأول: المعادلات الخطية

الدرس 1-1: المعادلات

المعادلة: هي جملة رياضية تحتوي على عبارتين جبريتين يفصل بينهما إشارة مساواة (=).

المتطابقة: هي العبارة التي تكون صحيحة لجميع قيم المتغير، ويكون طرفاها متكافئين دائماً وحلها هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

مجموعة التعويض: هي مجموعة الأعداد التي نعوض بها عن قيمة المتغير لتحديد مجموعة الحل.

أنواع حلول المعادلات:

1. معادلات لها حل وحيد.

2. معادلات ليس لها حل (مجموعة الحل هي المجموعة الخالية).

3. المتطابقات (حلها مجموعة الأعداد الحقيقية).

الدرس 1-2: حل المعادلات ذات الخطوة الواحدة

مفهوم أساسي: يتم حل المعادلات ذات الخطوة الواحدة باستعمال خصائص الجمع والطرح أو الضرب والقسمة.

المعادلات المتكافئة: هي المعادلات التي لها الحل نفسه.

الدرس 1-3: حل المعادلات ذات المتعددة الخطوات

مفهوم أساسي: تتطلب حل معادلة متعددة الخطوات أكثر من عملية عكسية واحدة لتجريد المتغير.

مسائل الأعداد الصحيحة المتتالية: يمكن التعبير عن أعداد صحيحة متتالية بالرموز مثل س، س+١، س+٢. والأعداد الزوجية أو الفردية المتتالية مثل س، س+٢، س+٤.

الدرس 1-4: حل المعادلات التي تحتوي متغيراً في طرفيها

مفهوم أساسي: لحل معادلة تحتوي متغيراً في طرفيها، نستعمل خصائص المساواة لتجميع المتغيرات في طرف واحد والأعداد في الطرف الآخر. وإذا احتوت على أقواس نستعمل خاصية التوزيع أولاً.

الدرس 1-5: حل المعادلات التي تتضمن القيمة المطلقة

القيمة المطلقة: تعني المسافة بين العدد والصفر على خط الأعداد، وهي دائماً موجبة أو صفر.

قاعدة حل معادلات القيمة المطلقة: إذا كانت القيمة المطلقة لتعبير تساوي عدداً موجباً، فإن هناك حالتين (موجبة وسالبة). وإذا كانت تساوي عدداً سالباً فليس لها حل ومجموعة حلها هي المجموعة الخالية.

الفصل الثاني: العلاقات والدوال الخطية

الدرس 2-1: العلاقات

الزوج المرتب: يعبر عن نقطة في المستوى الإحداثي ويكتب على الصورة (س، ص) حيث س هو الإحداثي السيني وص هو الإحداثي الصادي.

المجال: هو مجموعة قيم الإحداثي السيني في العلاقة.

المدى: هو مجموعة قيم الإحداثي الصادي في العلاقة.

المتغير المستقل والمتغير التابع: المتغير المستقل يمثل المدخلات، بينما المتغير التابع يمثل المخرجات التي تعتمد قيمتها على المتغير المستقل.

الدرس 2-2: الدوال

الدالة: هي علاقة تربط كل عنصر في مجالها بعنصر واحد فقط في المدى.

اختبار الخط الرأسي: يحدد ما إذا كانت العلاقة تمثل دالة أم لا، فإذا قطع الخط الرأسي التمثيل البياني في أكثر من نقطة فإن العلاقة لا تمثل دالة.

الدالة المتصلة والمنفصلة: الدالة المتصلة تمثل بيانيّاً بخط أو منحنى دون انقطاع، بينما الدالة المنفصلة تمثل بنقاط غير متصلة.

الدرس 2-3: تمثيل المعادلات الخطية بيانيّاً

المعادلة الخطية: هي معادلة تمثل بيانيّاً بخط مستقيم، وتكتب بالصورة القياسية: أ س + ب ص = جـ.

المقطعان السيني والصادي: المقطع السيني هو الإحداثي السيني للنقطة التي يقطع فيها المستقيم محور السينات (عندما ص = صفر)، والمقطع الصادي هو الإحداثي الصادي للنقطة التي يقطع فيها المستقيم محور الصادات (عندما س = صفر).

الدرس 2-4: حل المعادلات الخطية بيانيّاً

جذر المعادلة: هو أي قيمة تجعل المعادلة صحيحة، ويعتبر صفر الدالة المرتبطة بها.

الدرس 2-5: معدل التغير والميل

معدل التغير: يصف مدى سرعة تغير كمية بالنسبة لتغير كمية أخرى، ويحسب بالعلاقة (التغير في ص ÷ التغير في س).

ميل المستقيم (م): يُحسب بالقانون م = (ص٢ - ص١) ÷ (س٢ - س١)، وقد يكون الميل موجباً، سالباً، صفراً، أو غير معرف.

الدرس 2-6: المتتابعات الحسابية كدوال خطية

المتتابعة الحسابية: هي نمط عددي يزيد أو ينقص بمقدار ثابت يسمى أساس المتتابعة (د).

الحد النوني للمتتابعة الحسابية: يُعطى بالصيغة: أ_ن = أ_١ + (ن - ١)د.

الفصل الثالث: الدوال الخطية

الدرس 3-1: تمثيل المعادلات المكتوبة بصيغة الميل والمقطع بيانيّاً

صيغة الميل والمقطع: ص = م س + ب، حيث م هو الميل وب هو المقطع الصادي.

الدرس 3-2: كتابة المعادلات بصيغة الميل والمقطع

يمكن كتابة معادلة المستقيم إذا عُلم ميله ومقطعه الصادي، أو ميله ونقطة يمر بها، أو إحداثيتا نقطتين يمر بهما.

الدرس 3-3: كتابة المعادلات بصيغة الميل ونقطة

صيغة الميل ونقطة: ص - ص_١ = م(س - س_١)، حيث م هو الميل و(س_١، ص_١) نقطة معلومة يمر بها المستقيم.

الدرس 3-4: المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتعامدة

المستقيمات المتوازية: المستقيمات غير الرأسية تكون متوازية إذا وفقط إذا تساوى ميلاها.

المستقيمات المتعامدة: المستقيمات غير الرأسية تكون متعامدة إذا وفقط إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي -١ (أي أن ميل أحدهما هو معكوس مقلوب ميل الآخر).

الفصل الرابع: المتباينات الخطية

الدرس 4-1: حل المتباينات بالجمع أو الطرح

خصائص الجمع والطرح للمتباينات تنص على أنه إذا أضيف العدد نفسه إلى طرفي متباينة أو طرح منها فإن إشارة التباين لا تتغير.

الدرس 4-2: حل المتباينات بالضرب أو القسمة

إذا ضرب أو قُسِم طرفا متباينة في عدد موجب تبقى إشارة التباين كما هي، أما إذا ضرب أو قُسِم طرفا المتباينة في أو على عدد سالب فيتعين تغيير اتجاه إشارة التباين.

الدرس 4-3: حل المتباينات المتعددة الخطوات

تُحل المتباينات المتعددة الخطوات باستعمال خصائص الجمع والطرح والضرب والقسمة وخاصية التوزيع بنفس طريقة حل المعادلات مع مراعاة قاعدة الضرب والقسمة في عدد سالب.

الدرس 4-4: حل المتباينات المركبة

المتباينة المركبة تتكون من متباينتين أو أكثر تربط بينهما أداة الربط "و" (التقاطع) أو أداة الربط "أو" (الاتحاد).

الدرس 4-5: حل المتباينات التي تتضمن القيمة المطلقة

تُحل متباينات القيمة المطلقة التي تتضمن رمز الاصغر بحصر التعبير بين عدد موجب وسالبه (وتعبر عن التقاطع)، بينما متباينات الاكبر تحل على صورة متباينتين منفصلتين تربط بينهما "أو" (وتعبر عن الاتحاد).

الفصل الخامس: أنظمة المعادلات الخطية

الدرس 5-1: حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيّاً

أنواع الأنظمة من حيث الحلول:

1. متسق ومستقل: له حل واحد فقط (المستقيمان متقاطعان).

2. متسق وغير مستقل: له عدد نهائي من الحلول (المستقيمان متطابقان).

3. غير متسق: ليس له حل (المستقيمان متوازيان).

الدرس 5-2: حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض

طريقة التعويض تتضمن حل إحدى المعادلتين بالنسبة لأحد المتغيرين ثم تعويض هذه العبارة في المعادلة الأخرى.

الدرس 5-3: حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح

تتضمن طريقة الحذف جمع المعادلتين أو طرحهما للتخلص من أحد المتغيرين إذا كان معاملاهما متساويين أو معكوسين جمعيين.

الدرس 5-4: حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الضرب

إذا لم تكن معاملات أحد المتغيرين متساوية أو متراجعة، نضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما في عدد مناسب لجعل معامل أحد المتغيرين معكوساً جمعياً لمعامله في المعادلة الأخرى قبل الحذف.

الدرس 5-5: تطبيقات على النظام المكون من معادلتين خطيتين

يتم اختيار الطريقة الأنسب لحل النظام (التمثيل البياني، التعويض، أو الحذف بالجمع أو الطرح أو الضرب) بناءً على طبيعة المعاملات لتسهيل حل المسائل الحياتية والتطبيقية.