حل الفصل الثاني الاعداد الحقيقية ونظرية فيثاغورس رياضيات ثاني متوسط ف1

عن حل الفصل الثاني الاعداد الحقيقية ونظرية فيثاغورس

الفصل الثاني: الأعداد الحقيقية ونظرية فيثاغورس

اختبار تشخيصي

عين كل نقطة مما يأتي في المستوى الإحداثي:

أ (1، 3)
الحل: تحرك من نقطة الأصل بمقدار وحدة واحدة إلى اليسار، و 3 وحدات إلى أعلى وعين النقطة أ.
ب (2، -4)
الحل: تحرك من نقطة الأصل بمقدار وحدتين إلى اليمين، و 4 وحدات إلى أسفل وعين النقطة ب.
جـ (-2، -3)
الحل: تحرك من نقطة الأصل بمقدار وحدتين إلى اليسار، و 3 وحدات إلى أسفل وعين النقطة جـ.
د (-4، 0)
الحل: تحرك من نقطة الأصل بمقدار 4 وحدات إلى اليسار فقط، وعين النقطة د.

احسب قيمة كل عبارة مما يأتي:

2² + 4²
الحل:
2 × 2 + 4 × 4
4 + 16 = 20
3² + 3²
الحل:
3 × 3 + 3 × 3
9 + 9 = 18
10² + 8²
الحل:
10 × 10 + 8 × 8
100 + 64 = 164
7² + 5²
الحل:
7 × 7 + 5 × 5
49 + 25 = 74
أعمار: احسب مجموع مربعي عمر عائشة وأخيها حسين، إذا كان عمر عائشة 13 سنة وعمر حسين 15 سنة.
الحل:
13² + 15²
13 × 13 + 15 × 15
169 + 225 = 394
إذن مجموع مربعي عمر عائشة وعمر حسين يساوي 394.

حل كل معادلة مما يأتي، وتحقق من حلك:

س + 13 = 45
الحل:
س + 13 - 13 = 45 - 13
س = 32
التحقق: 32 + 13 = 45 (صحيحة)
56 + ص = 71
الحل:
56 - 56 + ص = 71 - 56
ص = 15
التحقق: 56 + 15 = 71 (صحيحة)
101 = 39 + ك
الحل:
101 - 39 = 39 - 39 + ك
ك = 62
التحقق: 39 + 62 = 101 (صحيحة)
62 = 45 + م
الحل:
62 - 45 = 45 - 45 + م
م = 17
التحقق: 45 + 17 = 62 (صحيحة)
كرات: مع عمر 18 كرة أكثر من سعيد. إذا كان مع عمر 92 كرة، فكم كرة مع سعيد؟
التعبير اللفظي: عدد الكرات التي مع عمر أكثر من عدد الكرات التي مع سعيد بـ 18 كرة.
المتغير: ليكن س يمثل عدد الكرات مع سعيد.
المعادلة: س + 18 = 92
الحل:
س + 18 - 18 = 92 - 18
س = 74
إذن مع سعيد 74 كرة.

الدرس 2-1: الجذور التربيعية

نشاط

أكمل نمط البلاطات المربعة الآتي حتى تصل إلى 5 بلاطات في كل ضلع:

عدد البلاطات في كل ضلع	1	2	3	4	5	6
العدد الكلي للبلاطات مرتبة في المربع	1	4	9	16	25	36

افترض أن مربعًا فيه 36 بلاطة. ما عدد البلاطات في كل ضلع؟
الحل: المربع الذي فيه 36 بلاطة يحتوي على 6 بلاطات في كل ضلع.

ما العلاقة بين عدد البلاطات على كل ضلع وعدد البلاطات في المربع؟
الحل: مربع عدد البلاطات على كل ضلع يساوي عدد البلاطات الكلي في المربع.

تحقق من فهمك

أوجد الجذور التربيعية الآتية:

أ) √(9 / 16)
الحل: يشير إلى الجذر التربيعي الموجب للعدد 9 / 16. بما أن (3 / 4)² = 9 / 16 فإن الجذر = 3 / 4.
ب) -√49
الحل: يشير إلى الجذر التربيعي السالب للعدد 49. بما أن (-7)² = 49 فإن الجذر = -7.
جـ) ±√0.81
الحل: يشير إلى الجذرين التربيعيين الموجب والسالب للعدد 0.81. بما أن (0.9)² = 0.81 فإن الجذر = ±0.9.

حل كل معادلة مما يأتي، وتحقق من حلك:

د) ت² = 289
الحل:
ت = ±√289
ت = 17 أو ت = -17
التحقق: 17 × 17 = 289 ، (-17) × (-17) = 289.
هـ) م² = 0.09
الحل:
م = ±√0.09
م = 0.3 أو م = -0.3
التحقق: 0.3 × 0.3 = 0.09 ، (-0.3) × (-0.3) = 0.09.
و) ص² = 4 / 25
الحل:
ص = ±√(4 / 25)
ص = 2 / 5 أو ص = -2 / 5
التحقق: (2 / 5) × (2 / 5) = 4 / 25.
ز) مسرح: تم ترتيب 900 مقعد في حفل مسرحي على شكل مربع. ما عدد المقاعد في كل صف؟
الحل:
س² = 900
س = √900
بتحليل 900 للعوامل الأولية: (2 × 3 × 5) × (2 × 3 × 5) = 30 × 30
س = 30
بما أن عدد المقاعد لا يمكن أن يكون سالباً، فعدد المقاعد في كل صف يساوي 30 مقعداً.

تأكد

أوجد الجذور التربيعية الآتية:

√25 = 5
√0.64 = 0.8
-√1.69 = -1.3
-√(16 / 81) = -4 / 9
±√100 = ±10
±√(49 / 144) = ±(7 / 12)

جبر: حل كل معادلة مما يأتي، وتحقق من حلك:

ف² = 36
الحل: ف = ±√36 ⇐ ف = 6 أو ف = -6
ن² = 1 / 9
الحل: ن = ±√(1 / 9) ⇐ ن = 1 / 3 أو ن = -1 / 3
6.25 = ر²
الحل: ر = ±√6.25 ⇐ ر = 2.5 أو ر = -2.5
تبليط: تم تبليط أرضية غرفة مربعة الشكل بـ 72 بلاطة بيضاء اللون و 72 بلاطة صفراء اللون، ما عدد البلاطات في كل صف؟
الحل:
المساحة الكلية = 72 + 72 = 144 بلاطة.
س² = 144
س = √144 = 12
عدد البلاطات في كل صف يساوي 12 بلاطة.

تدرب وحل المسائل

أوجد الجذور التربيعية الآتية:

√16 = 4
-√81 = -9
±√36 = ±6
√(121 / 324) = 11 / 18
-√(64 / 225) = -8 / 15
±√(9 / 49) = ±(3 / 7)
-√2.56 = -1.6
√0.25 = 0.5

جبر: حل كل معادلة مما يأتي، وتحقق من حلك:

ن² = 81 ⇐ ن = ±9
ب² = 100 ⇐ ب = ±10
144 = س² ⇐ س = ±12
225 = ص² ⇐ ص = ±15
36 / 100 = هـ² ⇐ هـ = ±(6 / 10) = ±0.6
حـ² = 9 / 64 ⇐ حـ = ±(3 / 8)
0.0169 = د² ⇐ د = ±0.13
أ² = 1.21 ⇐ أ = ±1.1
عروض رياضية: ترغب مدرسة في ترتيب طلابها في أثناء العرض الرياضي على شكل مربع. إذا كان عدد طلابها 225 طالبًا، فكم طالبا يجب أن يكون في كل صف؟
الحل: س² = 225 ⇐ س = √225 = 15 طالباً.

جبر: حل كل معادلة مما يأتي، وتحقق من حلك:

√س = 5 ⇐ (√س)² = 5² ⇐ س = 25
20 = √ص ⇐ (20)² = (√ص)² ⇐ ص = 400
10.5 = √ع ⇐ (10.5)² = (√ع)² ⇐ ع = 110.25

قياس: صيغة محيط المربع هي مح = 4 س، حيث س طول الضلع. أوجد محيط المربعات الآتية:

المساحة = 121 سم²
الحل:
س = √121 = 11 سم.
مح = 4 × 11 = 44 سم.
المساحة = 25 م²
الحل:
س = √25 = 5 م.
مح = 4 × 5 = 20 م.
المساحة = 36 م²
الحل:
س = √36 = 6 م.
مح = 4 × 6 = 24 م.

مسائل مهارات التفكير العليا

تحد: احسب قيمة (√36)²
الحل: (√36) × (√36) = 6 × 6 = 36.
الحس العددي: ما الشرط اللازم لصحة المتباينة: √س > √25 ؟
الحل: الشرط اللازم هو س > 25.
اكتب: مسألة من واقع الحياة يتطلب حلها استعمال الجذر التربيعي، ثم حلها.
المسألة: إذا كانت مساحة صندوق مربع الشكل 64 سم²، فما طول ضلع الصندوق؟
الحل: س² = 64 ⇐ س = √64 = 8 سم.

الدرس 2-2: تقدير الجذور التربيعية

تحقق من فهمك

قدر كلا مما يأتي إلى أقرب عدد كلي:

أ) √35
الحل: العدد 35 يقع بين المربعين الكاملين 25 و 36.
√25 < √35 < √36 ⇐ 5 < √35 < 6.
بما أن 35 أقرب إلى 36، فإن أفضل تقدير لـ √35 هو 6.
ب) √44.8
الحل: 44.8 يقع بين 36 و 49.
√36 < √44.8 < √49 ⇐ 6 < √44.8 < 7.
بما أن 44.8 أقرب إلى 49، فإن أفضل تقدير هو 7.
جـ) √170
الحل: 170 يقع بين 169 و 196.
√169 < √170 < √196 ⇐ 13 < √170 < 14.
بما أن 170 أقرب إلى 169، فإن أفضل تقدير هو 13.
د) هندسة: تشير العبارة √(س² + س²) لطول قطر مربع طول ضلعه س. استخدم ذلك في تقدير طول قطر حديقة مربعة الشكل إلى أقرب متر، إذا كان طول ضلعها 14 مترا.
الحل:
القطر = √(14² + 14²) = √(196 + 196) = √392.
العدد 392 يقع بين 361 و 400 (19 < √392 < 20).
بما أن 392 أقرب إلى 400، فإن أفضل تقدير لطول القطر هو 20 متراً.

تأكد

قدر كلا مما يأتي إلى أقرب عدد كلي:

√28 ≈ 5 (لأن 28 أقرب إلى 25)
√60 ≈ 8 (لأن 60 أقرب إلى 64)
√135 ≈ 12 (لأن 135 أقرب إلى 144)
√13.5 ≈ 4 (لأن 13.5 أقرب إلى 16)
√38.7 ≈ 6 (لأن 38.7 أقرب إلى 36)
√79.2 ≈ 9 (لأن 79.2 أقرب إلى 81)
علوم: يتأرجح بندول الساعة الذي طوله ل سم إلى الأمام وإلى الخلف مرة كل دقيقة حسب العبارة 375 / √ل. قدر كم مرة يتأرجح بندول طوله 40 سم في كل دقيقة؟
الحل:
نقدر √40 ≈ 6 (لأن 40 أقرب إلى 36).
عدد المرات ≈ 375 / 6 = 62.5 ≈ 63 مرة تقريباً.

الدرس 2-3: استراتيجية حل المسألة (استعمال أشكال فن)

مسائل متنوعة

رياضات: أجرى عمر مسحا لـ 85 طالبا، فوجد 40 منهم يلعبون كرة القدم، و 31 يلعبون كرة السلة، و 12 يلعبون اللعبتين معاً. كم طالبًا لا يلعب كرة القدم ولا كرة السلة؟
الحل:
الذين يلعبون كرة القدم فقط = 40 - 12 = 28.
الذين يلعبون كرة السلة فقط = 31 - 12 = 19.
مجموع المشاركين في الرياضتين = 28 + 19 + 12 = 59 طالباً.
الذين لا يلعبون أيًا منهما = 85 - 59 = 26 طالباً.
تسوق: أشخاص اشتروا أنواعاً من الخبز (70 أبيض، 63 قمح، 35 نخالة، 12 قمح وأبيض، 5 أبيض ونخالة، 7 قمح ونخالة، 2 الأنواع الثلاثة). كم شخصا اشترى خبز القمح فقط؟
الحل:
قمح وأبيض فقط = 12 - 2 = 10.
قمح ونخالة فقط = 7 - 2 = 5.
الذين اشتروا خبز القمح فقط = 63 - (10 + 5 + 2) = 42 شخصاً.
حيوانات أليفة: عالج بيطري 20 خروفًا، و 16 بقرةً، و 11 جملًا. (7 خروف وبقرة، 5 خروف وجمل، 3 بقرة وجمل، 2 الكل معاً). ما عدد المالكين للخراف فقط؟
الحل:
خروف وبقرة فقط = 7 - 2 = 5.
خروف وجمل فقط = 5 - 2 = 3.
المالكين للخراف فقط = 20 - (5 + 3 + 2) = 10 مالكين.